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Mathematik und Intuition? Ein scheinbares Gegensatzpaar und doch gehören sie zusammen. Ebensowenig wie es keine Erkenntnis ohne Logik und ohne Empirie gibt, so gibt es auch keine Erkenntnis ohne Intuition und Philosophie. Sie ist eine der drei grundsätzlichen Erkenntnisweisen des Menschen.
Forscher des Technion haben in Hommage auf eines der großen mathematischen Genies der Welt, der besonders für seine intuitive Erkenntnisweise berühmt wurde, ihre “Maschine der Intuition” – ein Algorithmus – benannt: Srinivasa Ramanujan.
Der 1887 geborene indische Mathematiker Ramanujan wuchs in einer armen Familie auf, schaffte es aber auf Initiative der britischen Mathematiker Godfrey Hardy und John Littlewood, im Alter von 26 Jahren nach Cambridge zu kommen.
Innerhalb weniger Jahre erkrankte er und kehrte nach Indien zurück, wo er im Alter von 32 Jahren starb. Während seines kurzen Lebens vollbrachte er bahnbrechende Leistungen in der Welt der Mathematik.
Eine von Ramanujans seltenen Fähigkeiten war die intuitive Formulierung von unbewiesenen mathematischen Formeln aka Vermutungen.
Das Forschungsteam des Technion beschloss daher, ihren Algorithmus “Ramanujan-Maschine” zu nennen, da dieser mathematische Vermutungen generiert, ohne sie zu beweisen, indem ihr Algorithmus die Intuition mithilfe von KI und beträchtlicher Computerautomatisierung “nachahmt”.
Mit Hilfe von KI und Computerautomatisierung haben Technion-Forscher einen “Vermutungsgenerator” entwickelt, der mathematische Vermutungen aka Formeln erzeugt, die als Ausgangspunkt für die Entwicklung mathematischer Theoreme gelten.
Sie haben damit bereits eine Reihe von bisher unbekannten Formeln generiert. Die Studie, die in der Fachzeitschrift Nature veröffentlicht wurde, wurde von Studenten aus verschiedenen Fakultäten unter der Leitung von Assistenzprofessor Ido Kaminer von der Andrew and Erna Viterbi Faculty of Electrical Engineering am Technion durchgeführt.
Mathematische Konstante
Das Projekt beschäftigt sich mit einem der grundlegendsten Elemente der Mathematik – den mathematischen Konstanten. Eine mathematische Konstante ist eine Zahl mit einem festen Wert, der sich auf natürliche Weise aus verschiedenen mathematischen Berechnungen und mathematischen Strukturen in unterschiedlichen Bereichen ergibt.
Viele mathematische Konstanten sind von großer Bedeutung in der Mathematik, aber auch in Disziplinen außerhalb der Mathematik, einschließlich Biologie, Physik und Ökologie. Der Goldene Schnitt und die Eulersche Zahl sind Beispiele für solche fundamentalen Konstanten.
Die vielleicht berühmteste Konstante ist pi, die in der Antike im Zusammenhang mit dem Umfang eines Kreises untersucht wurde. Heute taucht Pi in zahlreichen Formeln in allen Wissenschaftszweigen auf, wobei viele Mathe-Liebhaber darum wetteifern, wer sich mehr Nachkommastellen merken kann: 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798
Neuer Ansatz zur Entdeckung von Fundamentalkonstanten
Die Forscher des Technion haben eine neue Idee vorgeschlagen und untersucht: Die Verwendung von Computeralgorithmen, um automatisch mathematische Vermutungen zu generieren, die in Form von Formeln für mathematische Konstanten auftreten.
Eine Vermutung ist eine mathematische Schlussfolgerung oder ein Satz, der noch nicht bewiesen wurde; sobald die Vermutung bewiesen ist, wird sie zu einem Theorem.
Die Entdeckung einer mathematischen Vermutung über fundamentale Konstanten ist relativ selten, und ihre Quelle liegt oft in mathematischem Genie und außergewöhnlicher menschlicher Intuition. Newton, Riemann, Goldbach, Gauß, Euler und eben Ramanujan sind Beispiele für solche Genies.
Prof. Kaminer: “Unsere Ergebnisse sind beeindruckend, weil es dem Computer egal ist, ob der Beweis der Formel einfach oder schwierig ist, und er die neuen Ergebnisse nicht auf mathematisches Vorwissen stützt, sondern nur auf die Zahlen in den mathematischen Konstanten. Unsere Algorithmen arbeiten weitgehend so wie Ramanujan selbst, der Ergebnisse ohne Beweis präsentierte. Es ist wichtig zu betonen, dass der Algorithmus selbst nicht in der Lage ist, die von ihm gefundenen Vermutungen zu beweisen – an dieser Stelle bleibt die Aufgabe menschlichen Mathematikern überlassen.“
Die von der Ramanujan-Maschine des Technions generierten Vermutungen haben neue Formeln für bekannte mathematische Konstanten wie Pi, die Eulersche Zahl (e), die Apéry-Konstante (die mit der Riemannschen Zeta-Funktion verwandt ist) und die Katalanische Konstante geliefert.
Überraschenderweise gelang es den von den Technion-Forschern entwickelten Algorithmen nicht nur, bekannte Formeln für diese berühmten Konstanten zu erstellen, sondern auch mehrere bisher unbekannte Vermutungen zu entdecken.
Die Forscher schätzen, dass dieser Algorithmus in der Lage sein wird, die Generierung von mathematischen Vermutungen über Fundamentalkonstanten erheblich zu beschleunigen und dabei zu helfen, neue Beziehungen zwischen diesen Konstanten zu identifizieren.
Die Ramunjan-Maschine: Jeder kann mitmachen, Fundamentalkonstanten zu entdecken
Das Forscherteam hat eine Website ins Leben gerufen, RamanujanMachine.com, die die Öffentlichkeit dazu inspirieren soll, sich stärker am Fortschritt der mathematischen Forschung zu beteiligen, indem sie algorithmische Werkzeuge bereitstellt, die Mathematikern und der breiten Öffentlichkeit zur Verfügung stehen werden.
Die Forschungsstudie begann als Undergraduate-Projekt im Rothschild Scholars Technion Program for Excellence unter Beteiligung von Gal Raayoni und George Pisha und wurde im Rahmen der Forschungsprojekte der Andrew and Erna Viterbi Faculty of Electrical Engineering unter Beteiligung von Shahar Gottlieb, Yoav Harris und Doron Haviv fortgesetzt.
Hier wurde auch der bedeutendste Durchbruch erzielt – durch einen von Shahar Gottlieb entwickelten Algorithmus – der zur Veröffentlichung des Artikels in Nature führte. Prof. Kaminer fügt hinzu, dass die interessanteste mathematische Entdeckung, die die Algorithmen der Ramanujan-Maschine bisher gemacht haben, sich auf eine neue algebraische Struktur bezieht, die in einer katalanischen Konstante verborgen ist.
Die Struktur wurde von dem Gymnasiasten Yahel Manor entdeckt, der im Rahmen des Alpha-Programms für wissenschaftsorientierte Jugendliche an dem Projekt teilnahm. Prof. Kaminer fügte hinzu: “Die Industriekollegen Uri Mendlovic und Yaron Hadad waren ebenfalls an der Studie beteiligt und haben wesentlich zu den mathematischen und algorithmischen Konzepten beigetragen, die die Grundlage für die Ramanujan-Maschine bilden. Es ist wichtig zu betonen, dass das gesamte Projekt auf freiwilliger Basis durchgeführt wurde, keine finanzielle Unterstützung erhielt und die Teilnehmer dem Team aus reiner wissenschaftlicher Neugierde beitraten.”
ENGLISH
Mathematics and intuition? An apparent pair of opposites, and yet they belong together. Just as there is no knowledge without logic and empiricism, there is no knowledge without intuition. It is one of the three fundamental ways of knowing.
Researchers at the Technion have named their “machine of intuition” – an algorithm – in homage to one of the world’s great mathematical geniuses, who became particularly famous for his intuitive way of knowing: Srinivasa Ramanujan.
Born in 1887, the Indian mathematician Ramanujan grew up in a poor family, but managed to get to Cambridge at the age of 26 on the initiative of the British mathematicians Godfrey Hardy and John Littlewood.
Within a few years he fell ill and returned to India, where he died at the age of 32. During his short life, he made groundbreaking achievements in the world of mathematics.
One of Ramanujan’s rare skills was the intuitive formulation of unproven mathematical formulae aka conjectures. The Technion research team therefore decided to call their algorithm the “Ramanujan Machine”, as it generates mathematical conjectures without proving them by “mimicking” intuition using AI and considerable computer automation.
Using AI and computer automation, Technion researchers have developed a “conjecture generator” that generates mathematical conjectures aka formulas that are considered a starting point for developing mathematical theorems.
They have already used it to generate a number of previously unknown formulae. The study, published in the journal Nature, was conducted by students from different faculties under the direction of Assistant Professor Ido Kaminer from the Andrew and Erna Viterbi Faculty of Electrical Engineering at the Technion.
Mathematical constant
The project deals with one of the most fundamental elements of mathematics – mathematical constants. A mathematical constant is a number with a fixed value that arises naturally from various mathematical calculations and mathematical structures in different fields.
Many mathematical constants are of great importance in mathematics, but also in disciplines outside mathematics, including biology, physics and ecology. The golden ratio and Euler’s number are examples of such fundamental constants.
Perhaps the most famous constant is pi, which was studied in ancient times in connection with the circumference of a circle. Today, pi appears in numerous formulae in all branches of science, with many maths enthusiasts vying to see who can remember more decimal places: 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798
New approach to the discovery of fundamental constants
Technion researchers have proposed and investigated a new idea: Using computer algorithms to automatically generate mathematical conjectures that appear in the form of formulae for mathematical constants.
A conjecture is a mathematical conclusion or theorem that has not yet been proven; once the conjecture is proven, it becomes a theorem.
The discovery of a mathematical conjecture about fundamental constants is relatively rare, and its source often lies in mathematical genius and exceptional human intuition. Newton, Riemann, Goldbach, Gauss, Euler and Ramanujan are examples of such genius.
Prof. Kaminer: “Our results are impressive because the computer does not care whether the proof of the formula is easy or difficult, and it does not base the new results on prior mathematical knowledge, but only on the numbers in the mathematical constants. Our algorithms work largely like Ramanujan himself, who presented results without proof. It is important to emphasise that the algorithm itself is not able to prove the conjectures it finds – at this point the task is left to human mathematicians.”
The conjectures generated by the Technion’s Ramanujan machine have provided new formulae for well-known mathematical constants such as pi, Euler’s number (e), the Apéry constant (which is related to the Riemann zeta function) and the Catalan constant.
Surprisingly, the algorithms developed by the Technion researchers not only succeeded in producing known formulae for these famous constants, but also discovered several previously unknown conjectures.
The researchers estimate that this algorithm will be able to significantly speed up the generation of mathematical conjectures about fundamental constants and help identify new relationships between these constants.
The Ramunjan-Machine: anyone can join in to discover fundamental constants
The research team has launched a website, RamanujanMachine.com, to inspire the public to become more involved in advancing mathematical research by providing algorithmic tools that will be available to mathematicians and the general public.
The research study began as an undergraduate project in the Rothschild Scholars Technion Program for Excellence with the participation of Gal Raayoni and George Pisha, and continued as part of the Andrew and Erna Viterbi Faculty of Electrical Engineering research projects with the participation of Shahar Gottlieb, Yoav Harris and Doron Haviv.
This is also where the most significant breakthrough was made – through an algorithm developed by Shahar Gottlieb – which led to the publication of the article in Nature. Prof Kaminer adds that the most interesting mathematical discovery made so far by the Ramanujan machine algorithms relates to a new algebraic structure hidden in a Catalan constant.
The structure was discovered by high school student Yahel Manor, who participated in the project as part of the Alpha programme for science-minded youth. Prof Kaminer added: “Industry colleagues Uri Mendlovic and Yaron Hadad were also involved in the study and contributed significantly to the mathematical and algorithmic concepts that form the basis of the Ramanujan machine. It is important to emphasise that the entire project was carried out on a voluntary basis, received no financial support and the participants joined the team out of pure scientific curiosity.”
Quelle/Sender (ausgewählt, gruppiert, gekürzt, endübersetzt von VonNaftali): Technion
VonNaftali/מנפּתלי/ByNaftali 